\( \newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\NN}{\mathbb{N}} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\Ic}{\mathcal{I}} \newcommand{\Jc}{\mathcal{J}} \newcommand{\Hc}{\mathcal{H}} \newcommand{\Tc}{\mathcal{T}} \newcommand{\Sc}{\mathcal{S}} \newcommand{\Oc}{\mathcal{O}} \newcommand{\OPT}{\mathrm{OPT}} \newcommand{\MST}{\mathrm{MST}} \newcommand{\TSP}{\textbf{TSP}} \newcommand{\HomTSP}{\textbf{HomTSP}} \newcommand{\HetTSP}{\textbf{HetTSP}} \newcommand{\CVRP}{\textbf{CVRP}} \newcommand{\HetCVRP}{\textbf{HetCVRP}} \)

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      Differenzierbarkeit  &  Integrierbarkeit



\(f:(a,b)\to\RR\) heißt differenzierbar in \(x \in (a,b)\) \(:\Leftrightarrow \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) existiert
Für alle Folgen \((h_n)\)
mit \(h_n \xrightarrow{n\to \infty} 0\) und \(h_n \neq 0\)
existiert \(\lim_{n\to \infty}\frac{f(x+h_n)-f(x)}{h_n}\)
und ist unabhängig von der Wahl der Folge.

dann   \(=:f'(x) =: \frac{\text{d}f}{\text{d}x}(x)\)



Rechenregeln

Seien \(f, g: (a,b) \to \RR\) diff'bar in \(x \in (a,b)\) und \(\lambda \in \RR\). Dann sind:

  • \((f+g): (a,b) \to \RR: t \mapsto f(t)+g(t)\) diff'bar in \(x\) und es gilt \((f+g)' = f' + g'\)
  • \((\lambda\cdot f): (a,b) \to \RR: t \mapsto \lambda\cdot f(t)\) diff'bar in \(x\) und es gilt \((\lambda\cdot f)' = \lambda \cdot f'\)
  • \((f\cdot g): (a,b) \to \RR: t \mapsto f(t)\cdot g(t)\) diff'bar in \(x\) und es gilt \((f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g'\)
  • \(\left(\frac{f}{g}\right): (a,b) \to \RR: t \mapsto \frac{f(t)}{g(t)}\) diff'bar in \(x\) und es gilt \(\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'\cdot g - f\cdot g'}{g^2}\)
    (wenn \(g(x)\neq 0\))

Sei \(f\) zusätzlich stetig und streng monoton auf \((a,b)\). Dann ist

  • \(f^{-1}: \text{im}(f) \to (a,b)\) diff'bar in \(y:=f(x)\) und es gilt \((f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} = \frac{1}{f'(x)} \)

Sei          \((a,b) \xrightarrow{f} (c,d) \xrightarrow{h} \RR\), \(f\) diff'bar in \(x\), \(h\) in \(f(x)\). Dann ist
\((h\circ f):(a,b) \xrightarrow{\hspace{4.5em}} \RR: t \mapsto h(f(t))\) diff'bar in \(x\)
und es gilt \((h\circ f)' = (h'\circ f)\cdot f'\)   (Kettenregel)

Sätze zur Differentialrechnung

\(f\) differenzierbar in \(x \Rightarrow f\) stetig in \(x\)

diff'bar,
also stetig

nicht stetig,
also nicht diff'bar

stetig, aber
nicht diff'bar

Satz zu Extrema:

Sei \(f\) differenzierbar in \(x\). Dann gilt:

\(f\) hat lokales Extremum in \(x \Rightarrow f'(x) = 0\)

(\(\not\Leftarrow\)!)

Sei \(f\) diffbar auf \((a,b)\), zweimal diff'bar in \(x\). Dann gilt:

\(f\) hat lokales Minimum in  \(x \Leftarrow f'(x) = 0\) und \(f''(x) > 0\)
\(f\) hat lokales Maximum in \(x \Leftarrow f'(x) = 0\) und \(f''(x) \lt 0\)

(\(\not\Rightarrow\)!)
Satz von Rolle:

\(f:[a,b] \to \RR\) stetig,
auf \((a,b)\) diff'bar
und \(f(a)=f(b)\)

\(\Rightarrow \exists \xi \in (a,b): f'(\xi) = 0\)

Mittelwertsatz der Differentialrechnung:

\(f:[a,b] \to \RR\) stetig, auf \((a,b)\) diff'bar

\(\Rightarrow \exists \xi \in (a,b): f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)



\(f:[a,b]\xrightarrow{\text{beschr.}}\RR\) heißt Riemann-integrierbar \(:\Leftrightarrow {\int_a^b}_\ast f(x)\text{d}x \hspace{1.5em}=\hspace{1.5em} {\int_a^b}^\ast f(x)\text{d}x\)
\(\sup\left\{\int_a^b \varphi(x)\text{d}x \middle| \begin{array}{}\varphi\in\Tc[a,b] \\ \varphi\leq f\end{array}\right\}=:\)
\(\inf\left\{\int_a^b \psi\text{d}x \middle| \begin{array}{}\psi\in\Tc \\ \psi\geq f\end{array}\right\}\)
\(\varphi:[a,b]\to\RR\) heißt Treppenfunktion (\(\varphi \in \Tc[a,b]\))
\(:\Leftrightarrow \exists c_k\in \RR, a=x_0 \lt x_1 \lt \dots \lt x_n = b: \varphi\big|_{[x_{k-1},x_k]} \equiv c_k\)
Dann setze: \(\int_a^b \varphi(x)\text{d}x := \sum_{k=1}^n c_k\cdot(x_k-x_{k-1})\)

dann   \(=:\int_a^b f(x)\text{d}x\)



Rechenregeln

Seien \(f, g: [a,b] \to \RR\) Riemann-int'bar und \(\lambda \in \RR\). Dann sind:

  • \((f+g)\) Riemann-int'bar und \(\int_a^b(f+g)(x)\text{d}x = \int_a^b f(x)\text{d}x + \int_a^b g(x)\text{d}x\)
  • \((\lambda f)\hspace{1.05em}\) Riemann-int'bar und \(\int_a^b(\lambda f)(x)\text{d}x = \lambda \int_a^b f(x)\text{d}x\)
  • \(|f|\hspace{2em}\) Riemann-int'bar und \(\left|\int_a^b f(x)\text{d}x\right| \leq \int_a^b |f(x)|\text{d}x\)      („\(\Delta\)-Ungl.“)

Gilt zudem \(f \leq g\), so ist \(\int_a^b f(x)\text{d}x \leq \int_a^b g(x)\text{d}x\)                      (Monotonie)

Sätze zur Integralrechnung

\(f: [a,b] \to \RR\) stetig \(\Rightarrow f\) Riemann-integrierbar


\(f: [a,b] \to \RR\) ist Riemann-int'bar \(\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists \varphi,\psi \in \Tc[a,b]:\)
\(\hspace{2em}\varphi\leq f\leq\psi \text{ und } \int_a^b\psi(x)\text{d}x - \int_a^b\varphi(x)\text{d}x \leq \epsilon\)


Mittelwertatz der Integralrechnung:

\(f: [a,b] \to \RR\) stetig \(\Rightarrow \exists \xi\in[a,b]:\int_a^b f(x)\text{d}x = f(\xi)\cdot(b-a)\)

\(F:[a,b]\to\RR\) heißt Stammfunktion von \(f:[a,b] \to \RR\) \(:\Leftrightarrow \forall x \in [a,b]: F'(x) = f(x)\)


\(f: [a,b] \to \RR\) stetig \(\Rightarrow F: [a,b] \to \RR: x \to \int_a^x f(t)\text{d}t\) ist Stammfunktion von \(f\)


\(F, G\) Stammfunktionen von \(f \Rightarrow \exists c \in \RR: F \equiv G + c\).


Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung:

\(f: [a,b] \to \RR\) stetig mit Stammfunktion \(F\) \(\Rightarrow \forall x,y\in[a,b]:\int_x^y f(t)\text{d}t = F(y)-F(x)\)

Seien \(f, g: [a,b] \to \RR\) stetig diff'bar, dann gilt

Produktregel: \(\phantom{\int_a^b}\left(f(x)\cdot g(x)\right)'\phantom{\text{d}x} = \phantom{\,\int_a^b}f'(x)\cdot g(x)\phantom{\text{d}x} + \phantom{\,\int_a^b}f(x)\cdot g'(x)\phantom{\text{d}x}\)

\(\int_a^b\left(f(x)\cdot g(x)\right)'\text{d}x = \int_a^bf'(x)\cdot g(x)\phantom{\text{d}x} + \phantom{\,\int_a^b}f(x)\cdot g'(x)\text{d}x\)

\(\int_a^b\left(f(x)\cdot g(x)\right)'\text{d}x = \int_a^bf'(x)\cdot g(x)\text{d}x + \int_a^bf(x)\cdot g'(x)\text{d}x\)

\(f(x)\cdot g(x) \big|_a^b = \int_a^b\left(f(x)\cdot g(x)\right)'\text{d}x = \int_a^bf'(x)\cdot g(x)\text{d}x + \int_a^bf(x)\cdot g'(x)\text{d}x\)

\(\int_a^bf'(x)\cdot g(x)\text{d}x = f(x)\cdot g(x) \big|_a^b - \int_a^bf(x)\cdot g'(x)\text{d}x\)         (Partielle Integration)